最近在看VINS-Mono，在imu预积分讲解时涉及到Jacobi矩阵，不明白其中的作用，今天来补一下。

Jacobi矩阵

jacobi 矩阵只涉及一阶偏导

定积分中的Jacobi矩阵

在定积分中

$$\int_a^bf(x)dx\\ 若 x=h(y)\\ 有 \frac{dx}{dy}=h'(y)\\ 则dx=h'(y)dy$$

经过换元积分，有

$$\int_a^bf(x)dx=\int_c^df(h(y))h'(y)dy\\ 其中x=h(y)\\dx=h'(y)dy\\ 对于边界\\a=h(c)\\b=h(d)$$

称Jacobi矩阵 为

$$dx=Jdy$$

表示dx dy 之间长度的比值

二重积分中的Jacobi矩阵

$$\iint_Rf(x,y)dxdy$$

将(x,y)换成(u,v)

$$x=h(u,v)\\ y=k(u,v)$$

换元积分

$$\iint_Rf(x,y)dxdy=\iint_Qf(h(u,v),k(u,v))|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudv$$

其中J为以下矩阵。

行列式的值表示了dxdy 与 dudv的比值

$$|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=|\begin{matrix}{\frac{\partial x}{\partial u}}&{\frac{\partial x}{\partial v}}\\{\frac{\partial y}{\partial u}}&{\frac{\partial y}{\partial v}}\\\end{matrix}|= \frac{\partial x}{\partial u}*\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}*\frac{\partial y}{\partial u}$$

实际计算